โดมิโน่มหัศจรรย์
ปริศนามีอยู่ว่า....
มีกระดานขนาด 6x6 ช่อง วางโดมิโน่เต็มกระดาน จะมีเส้นบนตารางอย่างน้อย 1 เส้น ที่ไม่ตัดแบ่งโดมิโน่ออกเป็นสองส่วนเสมอ ไม่ว่าจะเรียงโดมิโน่ยังไงก็ตาม จริงหรือไม่?
ต้องหาเส้นตรงมาตัดผ่านโดมิโน่ได้แบบนี้เสมอ
ถ้าเราลองเอามาเรียงเล่นๆดู จะพบว่า มันทำได้เสมอนั่นแหละ แต่ถ้าจะยืนยันให้แน่นอนว่าทำได้เสมอ เราต้องลองเรียงให้ครบทุกๆแบบ เพื่อหาว่า เมื่อไม่ว่าเรียงยังไงแล้ว จะมีเส้นตรงมาผ่านมันได้จริงๆเสมอ
ซึ่งในความเป็นจริง เราคงไม่มีเวลามานั่งเรียงมันทุกแบบหรอกจริงไหม เพราะมันมีหลายแบบมากกกกกกก ดังนั้น เราจะใช้วิธีพิจารณาในเชิงความสัมพันธ์ง่ายๆแทน
การพิสูจน์ว่า จะมีเส้นตรงมาตัดผ่านได้เสมอ
การพิสูจน์ข้อความทำได้หลายวิธี ในที่นี้การพิสูจน์ตรงๆ ไม่ใช่เรื่องที่ทำได้ง่ายๆ ดังนั้นเราจะใช้วิธีอ้อม
ก่อนอื่นเราจะสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่เราต้องการขึ้นมาก่อน
นั่นคือ
บนกระดานขนาด 6x6 จะไม่มีเส้นตรงบนตารางสักเส้นเลย ที่ตัดผ่านกระดานโดมิโน่โดยไม่ผ่านตัวโดมิโน่
หรือพูดอีกอย่างได้คือบนกระดาน 6x6 นี้ ไม่ว่าเราจะเลือกเส้นไหนบนกระดานมา จะต้องมีโดมิโน่มาขวางเส้นนั้นเสมอ
ข้อสังเกตุที่สำคัญที่สุดก็คือ ถ้ามีเส้นตัดผ่านโดมิโน่อยู่บนกระดาน มันจะตัดผ่านโดมิโน่เป็นจำนวนคู่เสมอ ไม่สามารถตัดผ่านโดมิโน่อันเดียว, 3อัน ... บลาๆ ได้
เพราะตารางขนาด 6x6 จะมีเส้นตัดในแนวตั้ง 5 เส้น และแนวนอน 5 เส้น
แต่ละเส้น จะต้องมีโดมิโน่มาขวางอย่างน้อยที่สุด 2 อัน (เป็นอันเดียวไม่ได้ เพราะเป็นเลขคี่)
ดังนั้น ในตารางนี้ รวมแล้วจะต้องมีโดมิโน่มาขวางให้ครบทุกเส้น นั่นคือต้องใช้โดมิโน่ = 2x(5+5) = 20 ชิ้นเป็นอย่างน้อย
แต่ตารางขนาด 6x6 สามารถวางโดมิโน่ได้แค่ 18 ชิ้นเท่านั้น (ตารางมีขนาด 36 ช่อง โดมิโน่ 1 ชิ้นกินพื้นที่ 2 ช่อง)
ดังนั้น ประโยคที่สมมติขึ้นมา(แบบตรงกันข้าม)จึงผิด
จะได้ว่า ต้องมีอย่างน้อย 1 เส้นที่ไม่ตัดผ่านโดมิโน่ตัวไหนเลยแน่นอน !
บทเสริม
ทำไมเส้นตาราง ถึงจะต้องตัดผ่านโดมิโน่เป็นจำนวนคู่เท่านั้น...
เส้นที่ตัดผ่านตาราง จะตัดผแบ่งตารางออกเป็น 2 ส่วน แต่ละส่วนเป็นจำนวนคู่
จากการที่โดมิโน่กินขนาดสองช่อง ทุกครั้งที่ถูกเส้นตารางแบ่ง จะกลายเป็นโดมิโน่ขนาดช่องเดียว
แต่พื้นที่ตารางเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นต้องมีอีก 1 ช่อง เพื่อให้พื้นที่กลับมาเป็นจำนวนคู่อีกครั้งนั่นเอง
