[Math] ทำไม รากที่สองของ 2 (รูท 2) จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ระหว่างเรียนเราจำมาตลอดว่า  เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่รู้ไหม ว่าทำไม ??

จำนวนอตรรกยะคืออะไร ?

จำนวนอตรรกยะ คือจำนวนที่ ไม่ใช่ จำนวนตรรกยะ

แล้วจำนวนตรรกยะมันคืออะไรอีกละ ?

จำนวนตรรกยะ ( Rational Number ) คือจำนวนที่ถูกเขียนในรูป เศษส่วน ( อย่างต่ำ ) ของจำนวนเต็มได้

เช่น 10 เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนในรูป   ได้นั่นเอง

นั่นคือ   ไม่เป็น จำนวนตรรกยะ เรียกจำนวนนี้ว่า อตรรกยะ  ( Irrational Number ) เพราะไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป เศษส่วนของจำนวนเต็มได้นั่นเอง

คำถามคือ รู้ได้ยังไงว่ามันเขียนไม่ได้จริงๆ ….

พิสูจน์

ด้วยการพิสูจน์ทางอ้อม เราจะสมมติให้  เป็นจำนวน ตรรกยะ ดังนั้นจากนิยามจำนวนตรรกยะ  สามารถเขียนได้ในรูป

เมื่อ หรม ของ m , n = 1 (หมายความว่าเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

พิจารณา

แต่ว่า  เป็นจำนวนเต็ม (เพราะ  จำนวนเต็ม) ดังนั้น  จึงต้องการ 2 ลงตัว

แต่เพราะ  เป็นจำนวนเต็ม (ที่ไม่เป็น 0) ค่า n จึงเป็นไปได้ค่าเดียว คือ 1

จาก

แทน n = 1 จะได้

จาก  ต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น แต่  ไม่เป็นจำนวนเต็ม ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง

จึงสรุปได้ว่า  เป็นจำนวนอตรรกยะ

433 Total Views 3 Views Today
mu

mu

ชอบคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น Numerical และการ Optimization ในรูปแบบต่างๆ อยากเห็นประเทศไทยให้ความสำคัญกับงานด้านวิจัย และคณิตศาสตร์

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *