ปริศนาโดมิโน่ บนกระดานปิดตาย

ติวเลข สอนเลข โดมิโน่ math คณิต

โดมิโน่มหัศจรรย์

 

ปริศนามีอยู่ว่า….

มีกระดานขนาด 6×6 ช่อง วางโดมิโน่เต็มกระดาน จะมีเส้นบนตารางอย่างน้อย 1 เส้น ที่ไม่ตัดแบ่งโดมิโน่ออกเป็นสองส่วนเสมอ ไม่ว่าจะเรียงโดมิโน่ยังไงก็ตาม จริงหรือไม่?

 

ต้องหาเส้นตรงมาตัดผ่านโดมิโน่ได้แบบนี้เสมอ

 

ถ้าเราลองเอามาเรียงเล่นๆดู จะพบว่า มันทำได้เสมอนั่นแหละ แต่ถ้าจะยืนยันให้แน่นอนว่าทำได้เสมอ เราต้องลองเรียงให้ครบทุกๆแบบ เพื่อหาว่า เมื่อไม่ว่าเรียงยังไงแล้ว จะมีเส้นตรงมาผ่านมันได้จริงๆเสมอ

 

ซึ่งในความเป็นจริง เราคงไม่มีเวลามานั่งเรียงมันทุกแบบหรอกจริงไหม เพราะมันมีหลายแบบมากกกกกกก ดังนั้น เราจะใช้วิธีพิจารณาในเชิงความสัมพันธ์ง่ายๆแทน

 

การพิสูจน์ว่า จะมีเส้นตรงมาตัดผ่านได้เสมอ

การพิสูจน์ข้อความทำได้หลายวิธี ในที่นี้การพิสูจน์ตรงๆ ไม่ใช่เรื่องที่ทำได้ง่ายๆ ดังนั้นเราจะใช้วิธีอ้อม

ก่อนอื่นเราจะสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่เราต้องการขึ้นมาก่อน

นั่นคือ

บนกระดานขนาด 6×6 จะไม่มีเส้นตรงบนตารางสักเส้นเลย ที่ตัดผ่านกระดานโดมิโน่โดยไม่ผ่านตัวโดมิโน่

หรือพูดอีกอย่างได้คือบนกระดาน 6×6 นี้ ไม่ว่าเราจะเลือกเส้นไหนบนกระดานมา จะต้องมีโดมิโน่มาขวางเส้นนั้นเสมอ

 

 

ข้อสังเกตุที่สำคัญที่สุดก็คือ ถ้ามีเส้นตัดผ่านโดมิโน่อยู่บนกระดาน มันจะตัดผ่านโดมิโน่เป็นจำนวนคู่เสมอ ไม่สามารถตัดผ่านโดมิโน่อันเดียว, 3อัน … บลาๆ ได้

 

เพราะตารางขนาด 6×6 จะมีเส้นตัดในแนวตั้ง 5 เส้น และแนวนอน 5 เส้น

 

แต่ละเส้น จะต้องมีโดมิโน่มาขวางอย่างน้อยที่สุด 2 อัน (เป็นอันเดียวไม่ได้ เพราะเป็นเลขคี่)

 

 

ดังนั้น ในตารางนี้ รวมแล้วจะต้องมีโดมิโน่มาขวางให้ครบทุกเส้น นั่นคือต้องใช้โดมิโน่ = 2x(5+5) = 20 ชิ้นเป็นอย่างน้อย

แต่ตารางขนาด 6×6 สามารถวางโดมิโน่ได้แค่ 18 ชิ้นเท่านั้น (ตารางมีขนาด 36 ช่อง โดมิโน่ 1 ชิ้นกินพื้นที่ 2 ช่อง)

 

ดังนั้น ประโยคที่สมมติขึ้นมา(แบบตรงกันข้าม)จึงผิด

จะได้ว่า ต้องมีอย่างน้อย 1 เส้นที่ไม่ตัดผ่านโดมิโน่ตัวไหนเลยแน่นอน !

 

 

บทเสริม

ทำไมเส้นตาราง ถึงจะต้องตัดผ่านโดมิโน่เป็นจำนวนคู่เท่านั้น…

เส้นที่ตัดผ่านตาราง จะตัดผแบ่งตารางออกเป็น 2 ส่วน แต่ละส่วนเป็นจำนวนคู่

 

จากการที่โดมิโน่กินขนาดสองช่อง ทุกครั้งที่ถูกเส้นตารางแบ่ง จะกลายเป็นโดมิโน่ขนาดช่องเดียว

แต่พื้นที่ตารางเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นต้องมีอีก 1 ช่อง เพื่อให้พื้นที่กลับมาเป็นจำนวนคู่อีกครั้งนั่นเอง

 

2892 Total Views 4 Views Today
mu

mu

ชอบคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น Numerical และการ Optimization ในรูปแบบต่างๆ อยากเห็นประเทศไทยให้ความสำคัญกับงานด้านวิจัย และคณิตศาสตร์

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *