เนื้อหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในบทความนี้ได้รับคำปรึกษาและตรวจทานจาก muitsfriday.dev

ทฤษฎีแคตากอรีเป็นหนึ่งในสาขาของวิชา Mathematics ซึ่งเป็นแนวคิดที่ต่อมาถูกเอามาใช้เป็นหลักการออกแบบภาษาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ดังนั้นจะบอกว่าเป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ programmer ที่ไม่ได้มาจากสาย math สามารถเรียนรู้และทำความเข้าใจได้ง่ายเพราะคุ้นเคยกับมันอยู่นิดหน่อยแล้วก็ว่าได้

Concept

Category เป็นการประกอบกันของ 2 สิ่ง นั่นคือ

1. Object
2. Arrows (หรือ Morphism อ่านว่า "มอร์ฟิซึม")

Object นั้นจะเป็นอะไรก็ได้ แต่ละ Object สามารถแปลงไปเป็นอีก Object หนึ่งได้ด้วยการเขียนลูกศร Arrow ลงไป

อย่างนี้ตัวอย่างข้างบนนี้ เรามี Object ชื่อ A ซึ่งแปลงไปเป็น B ได้ด้วย Arrow f (หรือ Morphism f) จากนั้นเราก็สามารถแปลง B ให้กลายเป็น C ได้ด้วย Arrow g อีกทีหนึ่ง

จากนิยามแค่นี้ น่าจะไม่เข้าใจและไม่เห็นภาพแน่นอน งั้นมาดูตัวอย่างกัน

สมมุติว่า Category ของเราเป็นโลกแห่ง "มันฝรั่ง" เราอาจจะสร้าง Category ได้ประมาณนี้

• Object: มันฝรั่งแบบเป็นลูก, มันฝรั่งหั่น, เฟรนฟราย, มันฝรั่งแผ่นทอด
• Arrow: การหั่น, การทอด

ป.ล. จริงๆ มันต้องหั่นเป็นแผ่น หรือ หั่นเป็นแท่ง แล้วค่อย --> ทอดนะ ...แต่หารูปประกอบไม่ได้!! (ฮา)

แล้วเรื่องนี้มันเกี่ยวอะไรกับการเขียนโปรแกรมด้วย คงสงสัยกันอยู่ละสิ! นั่นก็คือ...

Category of Type

สำหรับโลก Programming, ถ้าในมุมมอง Category แล้วเราจะมองมันเป็น Category of Type คือเป็นกลุ่มของตัวแปรชนิดต่างๆ มารวมกัน ไม่ว่าจะเป็น int, double, string, boolean อะไรพวกนั้น

ส่วน Arrow ก็คือ function ในโปรแกรมมิ่งนั่นเอง เพราะฟังก์ชันจะรับตัวแปร (เทียบกับ object) เข้าไป แล้วคายตัวแปรอีกแบบกลับมา เช่น สร้างฟังก์ชันที่รับ int และ return string กลับมาอะไรแบบนั้น

Compose

คอมโพสแปลได้ว่า "การประกอบเข้าด้วยกัน" ในเชิงของ Category ถ้าเรามีความสัมพันธ์ A --> B --> C แล้วเราสามารถสร้างทางลัดตรงจาก A --> C ได้เลย เรียกว่าการ "Compose" นั่นเอง

แล้วถ้าเรามองว่า f เป็นฟังก์ชันสำหรับแปลง A --> B และ g เป็นฟังก์ชันแปลงจาก B --> C ถ้าเขียนเป็นโค้ดก็จะได้แบบนี้

B = f(A)
C = g(B)

ถ้าเราจะทำการ compose สองฟังก์ชันนี้เข้าด้วยกันก็จะเขียนได้ว่า

C = g(f(A))

หรือเขียนแบบคณิตศาสตร์จะได้

C = (g ∘ f)(A) //อ่านว่า "g of f" หรือ "g after f"

note: การ compose ฟังก์ชันในคณิคศาสตร์จะคล้ายๆ กับการเขียน "Pipeline" ในโลกโปรแกรมมิ่ง

A |> f
  |> g

หรือ

A |> a => f(a)
  |> b => g(b)

ข้อแตกต่างที่ควรระวังคือ (g ∘ f) หมายถึงทำงาน f -> g นั่นคือทำงานจากฟังก์ชันข้างหลังก่อนคือเรียง ขวาไปซ้าย แต่ถ้าเขียนแบบ pipeline การทำงานจะเป็นแบบอ่านตามลำดับคือ ซ้ายไปขวา/บนลงล่าง

note: ฟีเจอร์การเขียน pipeline ไม่ได้มีในทุกภาษา ตรวจสอบก่อนใช้งานด้วย

ถ้ากลับไปที่โลกมันฝรั่งของเรา ก็อาจจะสร้าง Arrow เพิ่มได้แบบนี้

แล้ว Category มีกฎอะไรอีกบ้างนะ?

อะไรจะถือว่าเป็น Category บ้างมีกฎง่ายๆ (แต่ก็ไม่ง่าย! เอ๊ะ ยังไง?) อยู่ 2 ข้อคือ...

1. Composition Associative
2. Identity Arrow

มาดูข้อแรกกันก่อน

Composition Associative: คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

ก่อนอื่นก็ต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ เรื่องนี้เป็นเรื่องเดียวกับการสลับที่ในวิชาเลขนั่นแหละ แบบนี้

(1 x 2) x 3 = 1 x (2 x 3)

นั่นคือถ้าเรามี Category A, B, C, D อยู่ตามภาพนี้

เราเริ่มต้นด้วยการมี Arrow 3 ตัวคือ f, g, และ h เราสามารถเอาทั้งหมดมาต่อ/ผสมกันได้แบบนี้

h ∘ g ∘ f 
= h ∘ (g ∘ f)
= (h ∘ g) ∘ f

นั่นคือไม่ว่าเราจะทำฟังก์ชันไหนก่อน ก็จะได้ผลลัพธ์ออกมาเหมือนกัน (แต่สลับลำดับไม่ได้นะ เช่นจะเรียงแบบ g ∘ h ∘ f นี้ไม่ได้)

Identity Arrow: คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์

ทุกๆ Object จะต้องมี Arrow ที่วิ่งกลับเข้าหาตัวเองเสมอ แบบนี้

หากเราเอา Identity Arrow ตัวนี้ไปทำการ compose กับ Arrow ตัวอื่น ผลลัพธ์จะได้ Arrow ตัวนั้นเสมอ (เสมือนว่า Arrow ตัวที่เป็น Identity นั้นจะหายไปเลย)

แบบนี้

{id} ∘ f = f
f ∘ {id} = f

หรือถ้าเขียนเป็นโปรแกรมมิ่งก็จะได้ว่า

function identity(x){
    return x;
}

หรือถ้าใช้ภาษาโปรแกรมสไตล์ FP ก็จะได้แบบนี้

identity :: A => A
identity x = x 

ต่อไปมาดูตัวอย่างกันหน่อย

สมมุติเรามี array อยู่หนึ่งตัว ถ้าเราจะสร้าง identity ขึ้นมาก็จะได้แบบนี้

[1, 2, 3, 4] ++ [] = [1, 2, 3, 4]
[] ++ [1, 2, 3, 4] = [1, 2, 3, 4]

concat หรือการ "ต่อ array" ก็จะมี "Empty Array" (อะเรย์ว่าง) เป็นเอกลักษณ์ของ array เพราะไม่ว่าเราจะเอา empty array ไปต่อกับ array ตัวไหนก็ตามจะได้ array ตัวเดิมเสมอ

note: สัญลักษณ์ concat ที่ใช้ในตัวอย่างใช้ ++ ซึ่งแต่ละภาษาโปรแกรมก็อาจจะมีวิธีเขียนที่ต่างกัน เช่นบางภาษาอาจจะใช้ +, :, .concat(), .extend(), หรือ .merge() แทน

ถ้า array ยากไปลองมาดูตัวที่ง่ายขึ้นอีกนิด กับ Int

x + 0 = x
0 + x = x

+0 เป็นเอกลักษณ์ของตัวเลข ไม่ว่าจะเอาไปบวกกับอะไรก็ได้เลขตัวเดิมเสมอ

หรืออาจจะใช้การคูณแบบนี้

x * 1 = x
1 * x = x

แบบนี้ก็ได้นะ (identity ไม่จำเป็นต้องมีแค่ตัวเดียว)
เพราะ *1 ก็เป็นเอกลักษณ์ของตัวเลขเช่นกัน

แต่ก็ต้องอธิบายเพิ่มเติมว่าการบอกแบบนี้ได้ จะต้องกำหนดว่า category ของเราเป็น Category of Integer เท่านั้นนะ!

เพราะถ้าเรากำหนด category ของเราเป็น Category of Type เช่นชนิดตัวแปรในภาษาโปรแกรม เราจะได้ว่าไม่ว่าจะเอาตัวเลขตัวไหนมาบวกหรือคูณกันก็ถือเป็นเอกลักษณ์ทั้งนั้น (ไม่เข้าใจเหรอ งั้นมาดูตัวอย่างต่อ)

1 + 2 = 3
7 - 6 = 1
4 * 5 = 20

แบบนี้ถือว่าเป็น identity ได้ทั้งหมด เพราะไม่ว่าเราจะเอาไปทำ operation ตัวไหนก็ได้ผลออกมาเป็นค่าเดิม! เพราะว่า...

Int + Int = Int
Int - Int = Int
Int * Int = Int

เพราะถ้าเราโฟกัสที่ Type ไม่ว่าจะเป็น 1, 2, 3 ก็จัดเป็น Int ทั้งนั้น

และเช่นกันนะ ถ้าในมุมมองของ Category of Type การ concat array เมื่อกี้นี้ก็ไม่จำเป็นต้องเป็น Empty Array เท่านั้นนะ จะเอาarrayตัวไหนมาconcatกันก็ถือว่าเป็น identity ทั้งนั้น เพราะ

Array ++ Array = Array

สรุป

ในบทความนี้เป็นการแนะนำเนื้อหา Category Theory แบบคร่าวๆ มากๆ ซึ่งพื้นฐานคอนเซ็ปในการเอาไปศึกษาต่อในเรื่องของ Functional Programming

แต่ถ้าอ่านมาจนถึงตอนนี้อาจจะยังไม่เห็นภาพชัดเจน (ก็คือยังไม่รู้นั่นแหละว่าเราจะเอาไป apply กับการเขียนโปรแกรมได้ยังไง) เพราะว่ายังมีอีกหลายเรื่องที่ต่อจากนี้ ไม่ว่าจะเป็น functor, ord, monad ซึ่งเรื่องพวกนี้ถูกเอาไปใช้เป็นคอนเซ็ปของการออกแบบภาษาโปรแกรมสาย Functional Programming (FP) เลย ถ้าเรารู้พื้นฐานพวกนี้ดี การศึกษา FP ก็จะไปได้เร็วมากขึ้น